Kamis, 06 September 2012

AljabarBoolean


Pengedit blog AljabarBoolean ini adalah : My Name is Joy Wijaya pada saat saya memposting tentang AljabarBoolean di blog saya itu merupakan cara untuk melakukan eunterpraner dengan cara membuat blog AljabarBoolean dan tolong sebelum membaca blog ini berkatalah saya suka AljabarBoolean saya cinta saya AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya ingin AljabarBoolean saya mengginkan AljabarBoolean saya butuh AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya cinta AljabarBoolean saya butuh AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya cinta AljabarBoolean tugas saya AljabarBoolean saya disuruh mencari AljabarBoolean AljabarBoolean mudah saya cinta AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya ingin AljabarBoolean saya memutuhkan AljabarBoolean saya need AljabarBoolean saya love AljabarBoolean saya ai AljabarBoolean saya pengen AljabarBoolean saya tresno AljabarBoolean saya main AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya AljabarBoolean hhehehhe :D di sekolah saya setiap ada pelajaran digital pasti disuruh membuat pra KBM salah 1nya tentang AljabarBoolean ini jadi saya membuat blog ini selain untuk memudahkan orang mendapat informasi yaitu untuk berbisnis dengan blog AljabarBoolean oleh dari pada itu tolang partisipasinya dalam bisnis saya (AljabarBoolean) dan mohon maaf jika blognya tidak benar atau salah terima kasih dan juga tolong anda berkata AljabarBoolean AljabarBoolean saya butuh AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya cinta AljabarBoolean tugas saya AljabarBoolean saya disuruh mencari AljabarBoolean AljabarBoolean mudah saya cinta AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya ingin AljabarBoolean saya memutuhkan AljabarBoolean saya need AljabarBoolean saya love AljabarBoolean saya ai AljabarBoolean saya pengen AljabarBoolean saya tresno AljabarBoolean sebelum memulai membaca blog ini lebih lanjut lagi hhehhehe :D

Referensi dari GOOGLE
AljabarBoolean
Aljabar Boolean ALJABAR BOOLEAN Aljabar boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet, dan tiga operasi dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen). Fungsi boolean terdiri dari variabel-variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sama dengan, dan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel biner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi logik, dan tanda kurung. Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran untuk fungsi boolean merupakan daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner. Aljabar boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan. Dalam arti luas, aljabar boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan oleh George Boole untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika secara aljabar. Dalam hal ini aljabar boolean cocok untuk diaplikasikan dalam komputer. Disisi lain, aljabar boolean juga merupakan suatu struktur aljabar yang operasi-operasinya memenuhi aturan tertentu. DASAR OPERASI LOGIKA LOGIKA : Memberikan batasan yang pasti dari suatu keadaan, sehingga suatu keadaan tidak dapat berada dalam dua ketentuan sekaligus. Dalam logika dikenal aturan sbb : ♦ Suatu keadaan tidak dapat dalam keduanya benar dan salah sekaligus ♦ Masing-masing adalah benar / salah. ♦ Suatu keadaan disebut benar bila tidak salah. Dalam ajabar boolean keadaan ini ditunjukkan dengan dua konstanta : LOGIKA ‘1’ dan ‘0’ Operasi-operasi dasar logika dan gerbang logika : Pengertian GERBANG (GATE) : ♦ Rangkaian satu atau lebih sinyal masukan tetapi hanya menghasilkan satu sinyal keluaran. ♦ Rangkaian digital (dua keadaan), karena sinyal masukan atau keluaran hanya berupa tegangan tinggi atau low ( 1 atau 0 ). ♦ Setiap keluarannya tergantung sepenuhnya pada sinyal yang diberikan pada masukan- masukannya. Operasi logika NOT ( Invers )  x = x’àOperasi merubah logika 1 ke 0 dan sebaliknya.
v  Aljabar Boolean halaman 2 Tabel Operasi NOT Simbol X X’ 0 1 1 0 Operasi logika AND ♦ Operasi antara dua variabel (A,B) ♦ Operasi ini akan menghasilkan logika 1, jika kedua variabel tersebut berlogika 1 Simbol Tabel operasi AND A B A.B A A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 B 1 1 1 Operasi logika OR Operasi antara 2 variabel (A,B) Operasi ini akan menghasilkan logika 0, jika kedua variabel tersebut berlogika 0. Simbol Tabel Operasi OR A A+B A B A+B 0 0 0 0 1 1 B 1 0 1 1 1 1 Operasi logika NOR Operasi ini merupakan operasi OR dan NOT, keluarannya merupakan keluaran operasi OR yang di inverter.
   Simbol Tabel Operasi NOR A A+B ( A + B )’ A B ( A + B)’ 0 0 1 0 1 0 B 1 0 0 1 1 0
v  Aljabar Boolean halaman 3 Atau A ( A + B )’ B Operasi logika NAND Operasi logika ini merupakan gabungan operasi AND dan NOT, Keluarannya merupakan keluaran gerbang AND yang di inverter. Simbol Tabel Operasi NAND A A.B ( A . B )’ A B ( A . B)’ 0 0 1 0 1 1 B 1 0 1 1 1 0 Atau A ( A . B )’ B Operasi logika EXOR akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah ganjil. Simbol Tabel Operasi EXOR A Y A B A+B 0 0 0 0 1 1 B 1 0 1 1 1 0 Operasi logika EXNOR Operasi ini akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah genap atau tidak ada sama sekali.
v  Aljabar Boolean halaman 4 Simbol Tabel Operasi EXNOR A Y A B A+B 0 0 1 0 1 0 B 1 0 0 1 1 1 DALIL BOOLEAN ; 1. X=0 ATAU X=1 2. 0 . 0 = 0 3. 1 + 1 = 1 4. 0 + 0 = 0 5. 1 . 1 = 1 6. 1 . 0 = 0 . 1 = 0 7. 1 + 0 = 0 + 1 = 0 TEOREMA BOOLEAN 1. HK. KOMUTATIF 6. HK. IDENTITAS A+B=B+A A+A=A A. B=B .A A .A=A 2. HK. ASSOSIATIF 7. (A+B)+C = A+(B+C) 0 + A = A —– 1. A = A (A.B) . C = A . (B.C) 1 + A = 1 —– 0 . A = 0 3. HK. DISTRIBUTIF 8. A . (B+C) = A.B + A.C A’ + A = 1 A + (B.C) = (A+B) . (A+C) A’ . A =0 4. HK. NEGASI 9. ( A’ ) = A’ A + A’ . B = A + B (A’)’ = A A . (A + B)= A . B 5. HK. ABRSORPSI 10. DE MORGAN’S A+ A.B = A ( A+ B )’ = A’ . B’ A.(A+B) = A ( A . B )’ = A’ + B’ CONTOH : 1. A + A . B’ + A’ . B = A . ( 1 + B’ ) + A’ . B = A . 1 + A’ . B = A + A’ . B = A+B
v  Aljabar Boolean halaman 5 2. A B X X = (A.B)’ . B = (A’ + B’) . B = ( A.B )’ + B’.B = ( A.B )’ + 0 = A’.B A B X = A’.B ATAU A X = A’.B B
v  Aljabar Boolean halaman 6 Aljabar Boolean • Misalkan terdapat – Dua operator biner: + dan – Sebuah operator uner: ’. – B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +, , dan ’ – 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B. Tupel (B, +, , ’) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut: 1. Closure: (i) a + b B (ii) a b B 2. Identitas: (i) a + 0 = a (ii) a 1 = a 3. Komutatif: (i) a + b = b + a (ii) a b = b . a 4. Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c) (ii) a + (b c) = (a + b) (a + c) 5. Komplemen1: (i) a + a’ = 1 (ii) a a’ = 0 • Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan: 1. Elemen-elemen himpunan B, 2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner, 3. Memenuhi postulat Huntington. Aljabar Boolean Dua-Nilai Aljabar Boolean dua-nilai: 1
v  Aljabar Boolean halaman 7 – B = {0, 1} – operator biner, + dan – operator uner, ’ – Kaidah untuk operator biner dan operator uner: a B ab a b a+b a a’ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Cek apakah memenuhi postulat Huntington: 1. Closure : jelas berlaku 2. Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa: (i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1 (ii) 1 0 = 0 1 = 0 3. Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner. 4. Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran: a b c b+c a (b + c) ab ac (a b) + (a c) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (ii) Hukum distributif a + (b c) = (a + b) (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i). 5. Komplemen: jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa: (i) a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1 (ii) a a = 0, karena 0 0’= 0 1 = 0 dan 1 1’ = 1 0 = 0 Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan operator komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean.
v  Aljabar Boolean halaman 8 Ekspresi Boolean • Misalkan (B, +, , ’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, , ’) adalah: (i) setiap elemen di dalam B, (ii) setiap peubah, (iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 e2, e1’ adalah ekspresi Boolean Contoh: 0 1 a b c a+b ab a’ (b + c) a b’ + a b c’ + b’, dan sebagainya Mengevaluasi Ekspresi Boolean • Contoh: a’ (b + c) jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi: 0’ (1 + 0) = 1 1 = 1 • Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah. Contoh: a (b + c) = (a . b) + (a c) Contoh. Perlihatkan bahwa a + a’b = a + b . Penyelesaian: a b a’ a’b a + a’b a+b 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 • Perjanjian: tanda titik () dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan: (i) a(b + c) = ab + ac (ii) a + bc = (a + b) (a + c) (iii) a 0 , bukan a0
v  Aljabar Boolean halaman 9 Prinsip Dualitas • Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +, , dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti dengan + + dengan 0 dengan 1 1 dengan 0 dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S. Contoh. (i) (a 1)(0 + a’) = 0 dualnya (a + 0) + (1 a’) = 1 (ii) a(a‘ + b) = ab dualnya a + a‘b = a + b Hukum-hukum Aljabar Boolean 1. Hukum identitas: 2. Hukum idempoten: (i) a+0=a (i) a + a = a (ii) a 1 = a (ii) a a = a 3. Hukum komplemen: 4. Hukum dominansi: (i) a + a’ = 1 (i) a0 =0 (ii) aa’ = 0 (ii) a + 1 = 1 5. Hukum involusi: 6. Hukum penyerapan: (i) (a’)’ = a (i) a + ab = a (ii) a(a + b) = a 7. Hukum komutatif: 8. Hukum asosiatif: (i) a+b=b+a (i) a + (b + c) = (a + b) + c (ii) ab = ba (ii) a (b c) = (a b) c 9. Hukum distributif: 10. Hukum De Morgan: (i) a + (b c) = (a + b) (a + c) (i) (a + b)’ = a’b’ (ii) a (b + c) = a b + a c (ii) (ab)’ = a’ + b’ 11. Hukum 0/1 (i) 0’ = 1 (ii) 1’ = 0 Contoh 7.3. Buktikan (i) a + a’b = a + b dan (ii) a(a’ + b) = ab Penyelesaian: (i) a + a’b = (a + ab) + a’b (Penyerapan) = a + (ab + a’b) (Asosiatif) = a + (a + a’)b (Distributif) =a+1•b (Komplemen) =a+b (Identitas) (ii) adalah dual dari (i) Fungsi Boolean
v  Aljabar Boolean halaman 10 • Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai f : Bn → B yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B. • Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean. • Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (x, y, z) ke himpunan {0, 1}. Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga f(1, 0, 1) = 1 0 1 + 1’ 0 + 0’ 1 = 0 + 0 + 1 = 1 . Contoh. Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain: 1. f(x) = x 2. f(x, y) = x’y + xy’+ y’ 3. f(x, y) = x’ y’ 4. f(x, y) = (x + y)’ 5. f(x, y, z) = xyz’ • Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal. Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z’. Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran. Penyelesaian: x y z f(x, y, z) = xy z’ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 Komplemen Fungsi 1. Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2, adalah
v  Aljabar Boolean halaman 11 Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka f ’(x, y, z) = (x(y’z’ + yz))’ = x’ + (y’z’ + yz)’ = x’ + (y’z’)’ (yz)’ = x’ + (y + z) (y’ + z’) Aplikasi Aljabar Boolean 2. Rangkaian Digital Elektronik x x xy x+ y x x’ y y Gerbang AND Gerbang OR Gerbang NOT (inverter) Contoh. Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x’y ke dalam rangkaian logika. Jawab: (a) Cara pertama x xy y xy+x’y x’ x x’y y (b) Cara kedua x xy y x y+x ‘y x’ x ‘y
v  Aljabar Boolean halaman 12 (b) Cara ketiga x y xy xy+x’y x’ x’y Gerbang turunan x x ( xy )’ x + y y y Gerbang NAND Gerbang XOR x x ( x+y )’ ( x + y )’ y y Gerbang NOR Gerbang XNOR x x x+ y ( x + y )’ ekivalen dengan ( x + y )’ y y x’ x x ‘y ‘ ekivalen dengan ( x+y )’ y’ y Penyederhanaan Fungsi Boolean Contoh. f(x, y) = x’y + xy’ + y’ x’ x x ‘+ y ‘ ekivalen dengan ( xy )’ y’ y
v  Aljabar Boolean halaman 13 disederhanakan menjadi f(x, y) = x’ + y’ Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara: 1. Secara aljabar 2. Menggunakan Peta Karnaugh 3. Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi) 1. Penyederhanaan Secara Aljabar Contoh: 1. f(x, y) = x + x’y = (x + x’)(x + y) = 1 (x + y ) =x+y 2. f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’ = x’z(y’ + y) + xy’ = x’z + xz’ 3. f(x, y, z) = xy + x’z + yz = xy + x’z + yz(x + x’) = xy + x’z + xyz + x’yz = xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z

AljabarBoolean

Aljabar Boolean halaman ALJABAR BOOLEAN Aljabar boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet, dan tiga operasi dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen). Fungsi boolean terdiri dari variabel-variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sama dengan, dan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel biner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi logik, dan tanda kurung. Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran untuk fungsi boolean merupakan daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner. Aljabar boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan. Dalam arti luas, aljabar boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan oleh George Boole untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika secara aljabar. Dalam hal ini aljabar boolean cocok untuk diaplikasikan dalam komputer. Disisi lain, aljabar boolean juga merupakan suatu struktur aljabar yang operasi-operasinya memenuhi aturan tertentu. DASAR OPERASI LOGIKA LOGIKA : Memberikan batasan yang pasti dari suatu keadaan, sehingga suatu keadaan tidak dapat berada dalam dua ketentuan sekaligus. Dalam logika dikenal aturan sbb : ♦ Suatu keadaan tidak dapat dalam keduanya benar dan salah sekaligus ♦ Masing-masing adalah benar / salah. ♦ Suatu keadaan disebut benar bila tidak salah. Dalam ajabar boolean keadaan ini ditunjukkan dengan dua konstanta : LOGIKA ‘1’ dan ‘0’ Operasi-operasi dasar logika dan gerbang logika : Pengertian GERBANG (GATE) : ♦ Rangkaian satu atau lebih sinyal masukan tetapi hanya menghasilkan satu sinyal keluaran. ♦ Rangkaian digital (dua keadaan), karena sinyal masukan atau keluaran hanya berupa tegangan tinggi atau low ( 1 atau 0 ). ♦ Setiap keluarannya tergantung sepenuhnya pada sinyal yang diberikan pada masukan- masukannya. Operasi logika NOT ( Invers )  x = x’àOperasi merubah logika 1 ke 0 dan sebaliknya
Ø  Aljabar Boolean halaman 2 Tabel Operasi NOT Simbol X X’ 0 1 1 0 Operasi logika AND ♦ Operasi antara dua variabel (A,B) ♦ Operasi ini akan menghasilkan logika 1, jika kedua variabel tersebut berlogika 1 Simbol Tabel operasi AND A B A.B A A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 B 1 1 1 Operasi logika OR Operasi antara 2 variabel (A,B) Operasi ini akan menghasilkan logika 0, jika kedua variabel tersebut berlogika 0. Simbol Tabel Operasi OR A A+B A B A+B 0 0 0 0 1 1 B 1 0 1 1 1 1 Operasi logika NOR Operasi ini merupakan operasi OR dan NOT, keluarannya merupakan keluaran operasi OR yang di inverter. Simbol Tabel Operasi NOR A A+B ( A + B )’ A B ( A + B)’ 0 0 1 0 1 0 B 1 0 0 1 1 0
Ø  Aljabar Boolean halaman 3 Atau A ( A + B )’ B Operasi logika NAND Operasi logika ini merupakan gabungan operasi AND dan NOT, Keluarannya merupakan keluaran gerbang AND yang di inverter. Simbol Tabel Operasi NAND A A.B ( A . B )’ A B ( A . B)’ 0 0 1 0 1 1 B 1 0 1 1 1 0 Atau A ( A . B )’ B Operasi logika EXOR akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah ganjil. Simbol Tabel Operasi EXOR A Y A B A+B 0 0 0 0 1 1 B 1 0 1 1 1 0 Operasi logika EXNOR Operasi ini akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah genap atau tidak ada sama sekali.
Ø  Aljabar Boolean halaman 4 Simbol Tabel Operasi EXNOR A Y A B A+B 0 0 1 0 1 0 B 1 0 0 1 1 1 DALIL BOOLEAN ; 1. X=0 ATAU X=1 2. 0 . 0 = 0 3. 1 + 1 = 1 4. 0 + 0 = 0 5. 1 . 1 = 1 6. 1 . 0 = 0 . 1 = 0 7. 1 + 0 = 0 + 1 = 0 TEOREMA BOOLEAN 1. HK. KOMUTATIF 6. HK. IDENTITAS A+B=B+A A+A=A A. B=B .A A .A=A 2. HK. ASSOSIATIF 7. (A+B)+C = A+(B+C) 0 + A = A —– 1. A = A (A.B) . C = A . (B.C) 1 + A = 1 —– 0 . A = 0 3. HK. DISTRIBUTIF 8. A . (B+C) = A.B + A.C A’ + A = 1 A + (B.C) = (A+B) . (A+C) A’ . A =0 4. HK. NEGASI 9. ( A’ ) = A’ A + A’ . B = A + B (A’)’ = A A . (A + B)= A . B 5. HK. ABRSORPSI 10. DE MORGAN’S A+ A.B = A ( A+ B )’ = A’ . B’ A.(A+B) = A ( A . B )’ = A’ + B’ CONTOH : 1. A + A . B’ + A’ . B = A . ( 1 + B’ ) + A’ . B = A . 1 + A’ . B = A + A’ . B = A+B
Ø  Aljabar Boolean halaman 5 2. A B X X = (A.B)’ . B = (A’ + B’) . B = ( A.B )’ + B’.B = ( A.B )’ + 0 = A’.B A B X = A’.B ATAU A X = A’.B B
Ø  Aljabar Boolean halaman 6 Aljabar Boolean • Misalkan terdapat – Dua operator biner: + dan – Sebuah operator uner: ’. – B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +, , dan ’ – 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B. Tupel (B, +, , ’) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut: 1. Closure: (i) a + b B (ii) a b B 2. Identitas: (i) a + 0 = a (ii) a 1 = a 3. Komutatif: (i) a + b = b + a (ii) a b = b . a 4. Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c) (ii) a + (b c) = (a + b) (a + c) 5. Komplemen1: (i) a + a’ = 1 (ii) a a’ = 0 • Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan: 1. Elemen-elemen himpunan B, 2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner, 3. Memenuhi postulat Huntington. Aljabar Boolean Dua-Nilai Aljabar Boolean dua-nilai: 1
Ø  Aljabar Boolean halaman 7 – B = {0, 1} – operator biner, + dan – operator uner, ’ – Kaidah untuk operator biner dan operator uner: a B ab a b a+b a a’ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Cek apakah memenuhi postulat Huntington: 1. Closure : jelas berlaku 2. Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa: (i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1 (ii) 1 0 = 0 1 = 0 3. Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner. 4. Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran: a b c b+c a (b + c) ab ac (a b) + (a c) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (ii) Hukum distributif a + (b c) = (a + b) (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i). 5. Komplemen: jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa: (i) a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1 (ii) a a = 0, karena 0 0’= 0 1 = 0 dan 1 1’ = 1 0 = 0 Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan operator komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean.
Ø  Aljabar Boolean halaman 8 Ekspresi Boolean • Misalkan (B, +, , ’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, , ’) adalah: (i) setiap elemen di dalam B, (ii) setiap peubah, (iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 e2, e1’ adalah ekspresi Boolean Contoh: 0 1 a b c a+b ab a’ (b + c) a b’ + a b c’ + b’, dan sebagainya Mengevaluasi Ekspresi Boolean • Contoh: a’ (b + c) jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi: 0’ (1 + 0) = 1 1 = 1 • Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah. Contoh: a (b + c) = (a . b) + (a c) Contoh. Perlihatkan bahwa a + a’b = a + b . Penyelesaian: a b a’ a’b a + a’b a+b 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 • Perjanjian: tanda titik () dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan: (i) a(b + c) = ab + ac (ii) a + bc = (a + b) (a + c) (iii) a 0 , bukan a0
Ø  Aljabar Boolean halaman 9 Prinsip Dualitas • Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +, , dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti dengan + + dengan 0 dengan 1 1 dengan 0 dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S. Contoh. (i) (a 1)(0 + a’) = 0 dualnya (a + 0) + (1 a’) = 1 (ii) a(a‘ + b) = ab dualnya a + a‘b = a + b Hukum-hukum Aljabar Boolean 1. Hukum identitas: 2. Hukum idempoten: (i) a+0=a (i) a + a = a (ii) a 1 = a (ii) a a = a 3. Hukum komplemen: 4. Hukum dominansi: (i) a + a’ = 1 (i) a0 =0 (ii) aa’ = 0 (ii) a + 1 = 1 5. Hukum involusi: 6. Hukum penyerapan: (i) (a’)’ = a (i) a + ab = a (ii) a(a + b) = a 7. Hukum komutatif: 8. Hukum asosiatif: (i) a+b=b+a (i) a + (b + c) = (a + b) + c (ii) ab = ba (ii) a (b c) = (a b) c 9. Hukum distributif: 10. Hukum De Morgan: (i) a + (b c) = (a + b) (a + c) (i) (a + b)’ = a’b’ (ii) a (b + c) = a b + a c (ii) (ab)’ = a’ + b’ 11. Hukum 0/1 (i) 0’ = 1 (ii) 1’ = 0 Contoh 7.3. Buktikan (i) a + a’b = a + b dan (ii) a(a’ + b) = ab Penyelesaian: (i) a + a’b = (a + ab) + a’b (Penyerapan) = a + (ab + a’b) (Asosiatif) = a + (a + a’)b (Distributif) =a+1•b (Komplemen) =a+b (Identitas) (ii) adalah dual dari (i) Fungsi Boolean
Ø  Aljabar Boolean halaman 10 • Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai f : Bn → B yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B. • Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean. • Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (x, y, z) ke himpunan {0, 1}. Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga f(1, 0, 1) = 1 0 1 + 1’ 0 + 0’ 1 = 0 + 0 + 1 = 1 . Contoh. Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain: 1. f(x) = x 2. f(x, y) = x’y + xy’+ y’ 3. f(x, y) = x’ y’ 4. f(x, y) = (x + y)’ 5. f(x, y, z) = xyz’ • Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal. Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z’. Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran. Penyelesaian: x y z f(x, y, z) = xy z’ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 Komplemen Fungsi 1. Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2, adalah
Ø  Aljabar Boolean halaman 11 Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka f ’(x, y, z) = (x(y’z’ + yz))’ = x’ + (y’z’ + yz)’ = x’ + (y’z’)’ (yz)’ = x’ + (y + z) (y’ + z’) Aplikasi Aljabar Boolean 2. Rangkaian Digital Elektronik x x xy x+ y x x’ y y Gerbang AND Gerbang OR Gerbang NOT (inverter) Contoh. Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x’y ke dalam rangkaian logika. Jawab: (a) Cara pertama x xy y xy+x’y x’ x x’y y (b) Cara kedua x xy y x y+x ‘y x’ x ‘y
Ø  Aljabar Boolean halaman 12 (b) Cara ketiga x y xy xy+x’y x’ x’y Gerbang turunan x x ( xy )’ x + y y y Gerbang NAND Gerbang XOR x x ( x+y )’ ( x + y )’ y y Gerbang NOR Gerbang XNOR x x x+ y ( x + y )’ ekivalen dengan ( x + y )’ y y x’ x x ‘y ‘ ekivalen dengan ( x+y )’ y’ y Penyederhanaan Fungsi Boolean Contoh. f(x, y) = x’y + xy’ + y’ x’ x x ‘+ y ‘ ekivalen dengan ( xy )’ y’ y
Ø  Aljabar Boolean halaman 13 disederhanakan menjadi f(x, y) = x’ + y’ Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara: 1. Secara aljabar 2. Menggunakan Peta Karnaugh 3. Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi) 1. Penyederhanaan Secara Aljabar Contoh: 1. f(x, y) = x + x’y = (x + x’)(x + y) = 1 (x + y ) =x+y 2. f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’ = x’z(y’ + y) + xy’ = x’z + xz’ 3. f(x, y, z) = xy + x’z + yz = xy + x’z + yz(x + x’) = xy + x’z + xyz + x’yz = xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z


Pembuat blog AljabarBoolean adalah : My Name is Joy Wijaya pada saat saya memposting tentang AljabarBoolean di blog saya itu merupakan cara untuk melakukan eunterpraner dengan cara membuat blog AljabarBoolean dan tolong sesudah  membaca blog ini berkatalah saya suka AljabarBoolean saya cinta saya AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya ingin AljabarBoolean saya mengginkan AljabarBoolean saya butuh AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya cinta AljabarBoolean saya butuh AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya cinta AljabarBoolean tugas saya AljabarBoolean saya disuruh mencari AljabarBoolean AljabarBoolean mudah saya cinta AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya ingin AljabarBoolean saya memutuhkan AljabarBoolean saya need AljabarBoolean saya love AljabarBoolean saya ai AljabarBoolean saya pengen AljabarBoolean saya tresno AljabarBoolean saya main AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya AljabarBoolean hhehehhe :D di sekolah saya setiap ada pelajaran digital pasti disuruh membuat pra KBM salah 1nya tentang AljabarBoolean ini jadi saya membuat blog ini selain untuk memudahkan orang mendapat informasi yaitu untuk berbisnis dengan blog AljabarBoolean oleh dari pada itu tolong partisipasinya dalam bisnis saya (AljabarBoolean) dan mohon maaf jika blognya tidak benar atau salah terima kasih dan juga tolong anda berkata AljabarBoolean AljabarBoolean saya butuh AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya cinta AljabarBoolean tugas saya AljabarBoolean saya disuruh mencari AljabarBoolean AljabarBoolean mudah saya cinta AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya ingin AljabarBoolean saya memutuhkan AljabarBoolean saya need AljabarBoolean saya love AljabarBoolean saya ai AljabarBoolean saya pengen AljabarBoolean saya tresno AljabarBoolean setelah selesai membaca blog ini hhehhehe :D