Pengedit blog AljabarBoolean ini adalah : My Name is Joy
Wijaya pada saat saya memposting tentang AljabarBoolean di blog saya itu
merupakan cara untuk melakukan eunterpraner dengan cara membuat blog AljabarBoolean
dan tolong sebelum membaca blog ini berkatalah saya suka AljabarBoolean saya
cinta saya AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya ingin AljabarBoolean
saya mengginkan AljabarBoolean saya butuh AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean
saya cinta AljabarBoolean saya butuh AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean
saya cinta AljabarBoolean tugas saya AljabarBoolean saya disuruh mencari
AljabarBoolean AljabarBoolean mudah saya cinta AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean
saya ingin AljabarBoolean saya memutuhkan AljabarBoolean saya need AljabarBoolean
saya love AljabarBoolean saya ai AljabarBoolean saya pengen AljabarBoolean saya
tresno AljabarBoolean saya main AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya
AljabarBoolean hhehehhe :D di
sekolah saya setiap ada pelajaran digital pasti disuruh membuat pra KBM salah
1nya tentang AljabarBoolean ini jadi saya membuat blog ini selain untuk
memudahkan orang mendapat informasi yaitu untuk berbisnis dengan blog AljabarBoolean
oleh dari pada itu tolang partisipasinya dalam bisnis saya (AljabarBoolean) dan
mohon maaf jika blognya tidak benar atau salah terima kasih dan juga tolong
anda berkata AljabarBoolean AljabarBoolean saya butuh AljabarBoolean saya mau
AljabarBoolean saya cinta AljabarBoolean tugas saya AljabarBoolean saya disuruh
mencari AljabarBoolean AljabarBoolean mudah saya cinta AljabarBoolean saya mau
AljabarBoolean saya ingin AljabarBoolean saya memutuhkan AljabarBoolean saya
need AljabarBoolean saya love AljabarBoolean saya ai AljabarBoolean saya pengen
AljabarBoolean saya tresno AljabarBoolean sebelum memulai membaca blog ini
lebih lanjut lagi hhehhehe :D
Referensi dari GOOGLE
AljabarBoolean
Aljabar Boolean ALJABAR BOOLEAN
Aljabar boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel
biner dan operasi-operasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan
huruf-huruf alfabet, dan tiga operasi dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen).
Fungsi boolean terdiri dari variabel-variabel biner yang menunjukkan fungsi,
suatu tanda sama dengan, dan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan
menggunakan variabel-variabel biner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol
operasi logik, dan tanda kurung. Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam
tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran untuk fungsi boolean merupakan daftar
semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel
biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi
biner. Aljabar boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan.
Dalam arti luas, aljabar boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang
ditemukan oleh George Boole untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika
secara aljabar. Dalam hal ini aljabar boolean cocok untuk diaplikasikan dalam
komputer. Disisi lain, aljabar boolean juga merupakan suatu struktur aljabar
yang operasi-operasinya memenuhi aturan tertentu. DASAR OPERASI LOGIKA LOGIKA :
Memberikan batasan yang pasti dari suatu keadaan, sehingga suatu keadaan tidak
dapat berada dalam dua ketentuan sekaligus. Dalam logika dikenal aturan sbb : ♦
Suatu keadaan tidak dapat dalam keduanya benar dan salah sekaligus ♦
Masing-masing adalah benar / salah. ♦ Suatu keadaan disebut benar bila tidak
salah. Dalam ajabar boolean keadaan ini ditunjukkan dengan dua konstanta :
LOGIKA ‘1’ dan ‘0’ Operasi-operasi dasar logika dan gerbang logika : Pengertian
GERBANG (GATE) : ♦ Rangkaian satu atau lebih sinyal masukan tetapi hanya
menghasilkan satu sinyal keluaran. ♦ Rangkaian digital (dua keadaan), karena
sinyal masukan atau keluaran hanya berupa tegangan tinggi atau low ( 1 atau 0
). ♦ Setiap keluarannya tergantung sepenuhnya pada sinyal yang diberikan pada
masukan- masukannya. Operasi logika NOT ( Invers ) x = x’àOperasi merubah
logika 1 ke 0 dan sebaliknya.
v Aljabar Boolean halaman 2 Tabel
Operasi NOT Simbol X X’ 0 1 1 0 Operasi logika AND ♦ Operasi antara dua
variabel (A,B) ♦ Operasi ini akan menghasilkan logika 1, jika kedua variabel
tersebut berlogika 1 Simbol Tabel operasi AND A B A.B A A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 B
1 1 1 Operasi logika OR Operasi antara 2 variabel (A,B) Operasi ini akan
menghasilkan logika 0, jika kedua variabel tersebut berlogika 0. Simbol Tabel
Operasi OR A A+B A B A+B 0 0 0 0 1 1 B 1 0 1 1 1 1 Operasi logika NOR Operasi
ini merupakan operasi OR dan NOT, keluarannya merupakan keluaran operasi OR
yang di inverter.
Simbol Tabel Operasi NOR A A+B ( A + B )’ A B ( A + B)’ 0 0 1
0 1 0 B 1 0 0 1 1 0
v Aljabar Boolean halaman 3 Atau A ( A
+ B )’ B Operasi logika NAND Operasi logika ini merupakan gabungan operasi AND
dan NOT, Keluarannya merupakan keluaran gerbang AND yang di inverter. Simbol
Tabel Operasi NAND A A.B ( A . B )’ A B ( A . B)’ 0 0 1 0 1 1 B 1 0 1 1 1 0
Atau A ( A . B )’ B Operasi logika EXOR akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika
jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah ganjil. Simbol Tabel Operasi EXOR A
Y A B A+B 0 0 0 0 1 1 B 1 0 1 1 1 0 Operasi logika EXNOR Operasi ini akan
menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah genap
atau tidak ada sama sekali.
v Aljabar Boolean halaman 4 Simbol
Tabel Operasi EXNOR A Y A B A+B 0 0 1 0 1 0 B 1 0 0 1 1 1 DALIL BOOLEAN ; 1.
X=0 ATAU X=1 2. 0 . 0 = 0 3. 1 + 1 = 1 4. 0 + 0 = 0 5. 1 . 1 = 1 6. 1 . 0 = 0 .
1 = 0 7. 1 + 0 = 0 + 1 = 0 TEOREMA BOOLEAN 1. HK. KOMUTATIF 6. HK. IDENTITAS
A+B=B+A A+A=A A. B=B .A A .A=A 2. HK. ASSOSIATIF 7. (A+B)+C = A+(B+C) 0 + A = A
—– 1. A = A (A.B) . C = A . (B.C) 1 + A = 1 —– 0 . A = 0 3. HK. DISTRIBUTIF 8.
A . (B+C) = A.B + A.C A’ + A = 1 A + (B.C) = (A+B) . (A+C) A’ . A =0 4. HK.
NEGASI 9. ( A’ ) = A’ A + A’ . B = A + B (A’)’ = A A . (A + B)= A . B 5. HK.
ABRSORPSI 10. DE MORGAN’S A+ A.B = A ( A+ B )’ = A’ . B’ A.(A+B) = A ( A . B )’
= A’ + B’ CONTOH : 1. A + A . B’ + A’ . B = A . ( 1 + B’ ) + A’ . B = A . 1 +
A’ . B = A + A’ . B = A+B
v Aljabar Boolean halaman 5 2. A B X X
= (A.B)’ . B = (A’ + B’) . B = ( A.B )’ + B’.B = ( A.B )’ + 0 = A’.B A B X =
A’.B ATAU A X = A’.B B
v Aljabar Boolean halaman 6 Aljabar
Boolean • Misalkan terdapat – Dua operator biner: + dan ⋅ – Sebuah operator uner: ’. – B :
himpunan yang didefinisikan pada opeartor +, ⋅, dan ’ – 0 dan 1 adalah dua elemen
yang berbeda dari B. Tupel (B, +, ⋅,
’) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c ∈ B berlaku aksioma-aksioma atau
postulat Huntington berikut: 1. Closure: (i) a + b ∈ B (ii) a ⋅ b ∈ B 2. Identitas: (i) a + 0 = a (ii)
a ⋅ 1 = a 3. Komutatif: (i) a + b = b +
a (ii) a ⋅ b = b . a 4. Distributif: (i) a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) (ii) a + (b ⋅ c) = (a + b) ⋅ (a + c) 5. Komplemen1: (i) a + a’ =
1 (ii) a ⋅ a’ = 0 • Untuk mempunyai sebuah
aljabar Boolean, harus diperlihatkan: 1. Elemen-elemen himpunan B, 2. Kaidah
operasi untuk operator biner dan operator uner, 3. Memenuhi postulat
Huntington. Aljabar Boolean Dua-Nilai Aljabar Boolean dua-nilai: 1
v Aljabar Boolean halaman 7 – B = {0,
1} – operator biner, + dan ⋅
– operator uner, ’ – Kaidah untuk operator biner dan operator uner: a B a⋅b a b a+b a a’ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0
0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Cek apakah memenuhi postulat Huntington: 1.
Closure : jelas berlaku 2. Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat
kita lihat bahwa: (i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1 (ii) 1 ⋅ 0 = 0 ⋅ 1 = 0 3. Komutatif: jelas berlaku
dengan melihat simetri tabel operator biner. 4. Distributif: (i) a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) dapat ditunjukkan benar dari
tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran: a b c b+c a ⋅ (b + c) a⋅b a⋅c (a ⋅ b) + (a ⋅ c) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1 (ii) Hukum distributif a + (b ⋅ c) = (a + b) ⋅ (a + c) dapat ditunjukkan benar
dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i). 5. Komplemen:
jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa: (i) a + a‘ = 1, karena 0 +
0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1 (ii) a ⋅ a = 0, karena 0 ⋅ 0’= 0 ⋅ 1 = 0 dan 1 ⋅ 1’ = 1 ⋅ 0 = 0 Karena kelima postulat
Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan
operator biner + dan ⋅
operator komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean.
v Aljabar Boolean halaman 8 Ekspresi
Boolean • Misalkan (B, +, ⋅,
’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, ⋅, ’) adalah: (i) setiap elemen di
dalam B, (ii) setiap peubah, (iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka
e1 + e2, e1 ⋅ e2, e1’ adalah ekspresi Boolean
Contoh: 0 1 a b c a+b a⋅b
a’⋅ (b + c) a ⋅ b’ + a ⋅ b ⋅ c’ + b’, dan sebagainya
Mengevaluasi Ekspresi Boolean • Contoh: a’⋅ (b + c) jika a = 0, b = 1, dan c =
0, maka hasil evaluasi ekspresi: 0’⋅
(1 + 0) = 1 ⋅ 1 = 1 • Dua ekspresi Boolean
dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang
sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah. Contoh: a ⋅ (b + c) = (a . b) + (a ⋅ c) Contoh. Perlihatkan bahwa a +
a’b = a + b . Penyelesaian: a b a’ a’b a + a’b a+b 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 • Perjanjian: tanda titik (⋅) dapat dihilangkan dari penulisan
ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan: (i) a(b + c) = ab + ac (ii) a +
bc = (a + b) (a + c) (iii) a ⋅
0 , bukan a0
v Aljabar Boolean halaman 9 Prinsip
Dualitas • Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang
melibatkan operator +, ⋅,
dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti ⋅ dengan + + dengan ⋅ 0 dengan 1 1 dengan 0 dan membiarkan
operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut
sebagai dual dari S. Contoh. (i) (a ⋅
1)(0 + a’) = 0 dualnya (a + 0) + (1 ⋅
a’) = 1 (ii) a(a‘ + b) = ab dualnya a + a‘b = a + b Hukum-hukum Aljabar Boolean
1. Hukum identitas: 2. Hukum idempoten: (i) a+0=a (i) a + a = a (ii) a ⋅ 1 = a (ii) a ⋅ a = a 3. Hukum komplemen: 4. Hukum
dominansi: (i) a + a’ = 1 (i) a⋅0
=0 (ii) aa’ = 0 (ii) a + 1 = 1 5. Hukum involusi: 6. Hukum penyerapan: (i)
(a’)’ = a (i) a + ab = a (ii) a(a + b) = a 7. Hukum komutatif: 8. Hukum
asosiatif: (i) a+b=b+a (i) a + (b + c) = (a + b) + c (ii) ab = ba (ii) a (b c)
= (a b) c 9. Hukum distributif: 10. Hukum De Morgan: (i) a + (b c) = (a + b) (a
+ c) (i) (a + b)’ = a’b’ (ii) a (b + c) = a b + a c (ii) (ab)’ = a’ + b’ 11.
Hukum 0/1 (i) 0’ = 1 (ii) 1’ = 0 Contoh 7.3. Buktikan (i) a + a’b = a + b dan
(ii) a(a’ + b) = ab Penyelesaian: (i) a + a’b = (a + ab) + a’b (Penyerapan) = a
+ (ab + a’b) (Asosiatif) = a + (a + a’)b (Distributif) =a+1•b (Komplemen) =a+b
(Identitas) (ii) adalah dual dari (i) Fungsi Boolean
v Aljabar Boolean halaman 10 • Fungsi
Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui
ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai f : Bn → B yang dalam hal ini Bn
adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple)
di dalam daerah asal B. • Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi
Boolean. • Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z
Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (x, y, z) ke himpunan
{0, 1}. Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga f(1,
0, 1) = 1 ⋅ 0 ⋅ 1 + 1’ ⋅ 0 + 0’⋅ 1 = 0 + 0 + 1 = 1 . Contoh.
Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain: 1. f(x) = x 2. f(x, y) = x’y + xy’+ y’
3. f(x, y) = x’ y’ 4. f(x, y) = (x + y)’ 5. f(x, y, z) = xyz’ • Setiap peubah
di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal.
Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buah
literal, yaitu x, y, dan z’. Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy
z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran. Penyelesaian: x y z f(x, y, z) = xy z’ 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 Komplemen Fungsi
1. Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan Hukum De Morgan untuk dua buah
peubah, x1 dan x2, adalah
v Aljabar Boolean halaman 11 Contoh.
Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka f ’(x, y, z) = (x(y’z’ + yz))’ = x’ +
(y’z’ + yz)’ = x’ + (y’z’)’ (yz)’ = x’ + (y + z) (y’ + z’) Aplikasi Aljabar
Boolean 2. Rangkaian Digital Elektronik x x xy x+ y x x’ y y Gerbang AND
Gerbang OR Gerbang NOT (inverter) Contoh. Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x’y
ke dalam rangkaian logika. Jawab: (a) Cara pertama x xy y xy+x’y x’ x x’y y (b)
Cara kedua x xy y x y+x ‘y x’ x ‘y
v Aljabar Boolean halaman 12 (b) Cara
ketiga x y xy xy+x’y x’ x’y Gerbang turunan x x ( xy )’ x + y y y Gerbang NAND
Gerbang XOR x x ( x+y )’ ( x + y )’ y y Gerbang NOR Gerbang XNOR x x x+ y ( x +
y )’ ekivalen dengan ( x + y )’ y y x’ x x ‘y ‘ ekivalen dengan ( x+y )’ y’ y
Penyederhanaan Fungsi Boolean Contoh. f(x, y) = x’y + xy’ + y’ x’ x x ‘+ y ‘
ekivalen dengan ( xy )’ y’ y
v Aljabar Boolean halaman 13
disederhanakan menjadi f(x, y) = x’ + y’ Penyederhanaan fungsi Boolean dapat
dilakukan dengan 3 cara: 1. Secara aljabar 2. Menggunakan Peta Karnaugh 3.
Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi) 1. Penyederhanaan Secara
Aljabar Contoh: 1. f(x, y) = x + x’y = (x + x’)(x + y) = 1 ⋅ (x + y ) =x+y 2. f(x, y, z) = x’y’z
+ x’yz + xy’ = x’z(y’ + y) + xy’ = x’z + xz’ 3. f(x, y, z) = xy + x’z + yz = xy
+ x’z + yz(x + x’) = xy + x’z + xyz + x’yz = xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z
AljabarBoolean
Aljabar Boolean halaman ALJABAR BOOLEAN Aljabar boolean
merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan
operasi-operasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf
alfabet, dan tiga operasi dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen). Fungsi
boolean terdiri dari variabel-variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu
tanda sama dengan, dan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan
variabel-variabel biner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi
logik, dan tanda kurung. Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam tabel
kebenaran. Suatu tabel kebenaran untuk fungsi boolean merupakan daftar semua
kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner
dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi
biner. Aljabar boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan.
Dalam arti luas, aljabar boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang
ditemukan oleh George Boole untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika
secara aljabar. Dalam hal ini aljabar boolean cocok untuk diaplikasikan dalam
komputer. Disisi lain, aljabar boolean juga merupakan suatu struktur aljabar
yang operasi-operasinya memenuhi aturan tertentu. DASAR OPERASI LOGIKA LOGIKA :
Memberikan batasan yang pasti dari suatu keadaan, sehingga suatu keadaan tidak
dapat berada dalam dua ketentuan sekaligus. Dalam logika dikenal aturan sbb : ♦
Suatu keadaan tidak dapat dalam keduanya benar dan salah sekaligus ♦
Masing-masing adalah benar / salah. ♦ Suatu keadaan disebut benar bila tidak
salah. Dalam ajabar boolean keadaan ini ditunjukkan dengan dua konstanta :
LOGIKA ‘1’ dan ‘0’ Operasi-operasi dasar logika dan gerbang logika : Pengertian
GERBANG (GATE) : ♦ Rangkaian satu atau lebih sinyal masukan tetapi hanya
menghasilkan satu sinyal keluaran. ♦ Rangkaian digital (dua keadaan), karena
sinyal masukan atau keluaran hanya berupa tegangan tinggi atau low ( 1 atau 0
). ♦ Setiap keluarannya tergantung sepenuhnya pada sinyal yang diberikan pada
masukan- masukannya. Operasi logika NOT ( Invers ) x = x’àOperasi merubah
logika 1 ke 0 dan sebaliknya
Ø Aljabar Boolean halaman 2 Tabel
Operasi NOT Simbol X X’ 0 1 1 0 Operasi logika AND ♦ Operasi antara dua
variabel (A,B) ♦ Operasi ini akan menghasilkan logika 1, jika kedua variabel
tersebut berlogika 1 Simbol Tabel operasi AND A B A.B A A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 B
1 1 1 Operasi logika OR Operasi antara 2 variabel (A,B) Operasi ini akan
menghasilkan logika 0, jika kedua variabel tersebut berlogika 0. Simbol Tabel
Operasi OR A A+B A B A+B 0 0 0 0 1 1 B 1 0 1 1 1 1 Operasi logika NOR Operasi
ini merupakan operasi OR dan NOT, keluarannya merupakan keluaran operasi OR
yang di inverter. Simbol Tabel Operasi NOR A A+B ( A + B )’ A B ( A + B)’ 0 0 1
0 1 0 B 1 0 0 1 1 0
Ø Aljabar Boolean halaman 3 Atau A ( A
+ B )’ B Operasi logika NAND Operasi logika ini merupakan gabungan operasi AND
dan NOT, Keluarannya merupakan keluaran gerbang AND yang di inverter. Simbol
Tabel Operasi NAND A A.B ( A . B )’ A B ( A . B)’ 0 0 1 0 1 1 B 1 0 1 1 1 0
Atau A ( A . B )’ B Operasi logika EXOR akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika
jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah ganjil. Simbol Tabel Operasi EXOR A
Y A B A+B 0 0 0 0 1 1 B 1 0 1 1 1 0 Operasi logika EXNOR Operasi ini akan
menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah genap
atau tidak ada sama sekali.
Ø Aljabar Boolean halaman 4 Simbol
Tabel Operasi EXNOR A Y A B A+B 0 0 1 0 1 0 B 1 0 0 1 1 1 DALIL BOOLEAN ; 1.
X=0 ATAU X=1 2. 0 . 0 = 0 3. 1 + 1 = 1 4. 0 + 0 = 0 5. 1 . 1 = 1 6. 1 . 0 = 0 .
1 = 0 7. 1 + 0 = 0 + 1 = 0 TEOREMA BOOLEAN 1. HK. KOMUTATIF 6. HK. IDENTITAS
A+B=B+A A+A=A A. B=B .A A .A=A 2. HK. ASSOSIATIF 7. (A+B)+C = A+(B+C) 0 + A = A
—– 1. A = A (A.B) . C = A . (B.C) 1 + A = 1 —– 0 . A = 0 3. HK. DISTRIBUTIF 8.
A . (B+C) = A.B + A.C A’ + A = 1 A + (B.C) = (A+B) . (A+C) A’ . A =0 4. HK.
NEGASI 9. ( A’ ) = A’ A + A’ . B = A + B (A’)’ = A A . (A + B)= A . B 5. HK.
ABRSORPSI 10. DE MORGAN’S A+ A.B = A ( A+ B )’ = A’ . B’ A.(A+B) = A ( A . B )’
= A’ + B’ CONTOH : 1. A + A . B’ + A’ . B = A . ( 1 + B’ ) + A’ . B = A . 1 +
A’ . B = A + A’ . B = A+B
Ø Aljabar Boolean halaman 5 2. A B X X
= (A.B)’ . B = (A’ + B’) . B = ( A.B )’ + B’.B = ( A.B )’ + 0 = A’.B A B X =
A’.B ATAU A X = A’.B B
Ø Aljabar Boolean halaman 6 Aljabar
Boolean • Misalkan terdapat – Dua operator biner: + dan ⋅ – Sebuah operator uner: ’. – B :
himpunan yang didefinisikan pada opeartor +, ⋅, dan ’ – 0 dan 1 adalah dua elemen
yang berbeda dari B. Tupel (B, +, ⋅,
’) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c ∈ B berlaku aksioma-aksioma atau
postulat Huntington berikut: 1. Closure: (i) a + b ∈ B (ii) a ⋅ b ∈ B 2. Identitas: (i) a + 0 = a (ii)
a ⋅ 1 = a 3. Komutatif: (i) a + b = b +
a (ii) a ⋅ b = b . a 4. Distributif: (i) a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) (ii) a + (b ⋅ c) = (a + b) ⋅ (a + c) 5. Komplemen1: (i) a + a’ =
1 (ii) a ⋅ a’ = 0 • Untuk mempunyai sebuah
aljabar Boolean, harus diperlihatkan: 1. Elemen-elemen himpunan B, 2. Kaidah
operasi untuk operator biner dan operator uner, 3. Memenuhi postulat
Huntington. Aljabar Boolean Dua-Nilai Aljabar Boolean dua-nilai: 1
Ø Aljabar Boolean halaman 7 – B = {0,
1} – operator biner, + dan ⋅
– operator uner, ’ – Kaidah untuk operator biner dan operator uner: a B a⋅b a b a+b a a’ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0
0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Cek apakah memenuhi postulat Huntington: 1. Closure
: jelas berlaku 2. Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat
bahwa: (i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1 (ii) 1 ⋅
0 = 0 ⋅ 1 = 0 3. Komutatif: jelas berlaku
dengan melihat simetri tabel operator biner. 4. Distributif: (i) a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) dapat ditunjukkan benar dari
tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran: a b c b+c a ⋅ (b + c) a⋅b a⋅c (a ⋅ b) + (a ⋅ c) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1 (ii) Hukum distributif a + (b ⋅ c) = (a + b) ⋅ (a + c) dapat ditunjukkan benar
dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i). 5. Komplemen:
jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa: (i) a + a‘ = 1, karena 0 +
0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1 (ii) a ⋅ a = 0, karena 0 ⋅ 0’= 0 ⋅ 1 = 0 dan 1 ⋅ 1’ = 1 ⋅ 0 = 0 Karena kelima postulat
Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan
operator biner + dan ⋅
operator komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean.
Ø Aljabar Boolean halaman 8 Ekspresi
Boolean • Misalkan (B, +, ⋅,
’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, ⋅, ’) adalah: (i) setiap elemen di
dalam B, (ii) setiap peubah, (iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka
e1 + e2, e1 ⋅ e2, e1’ adalah ekspresi Boolean
Contoh: 0 1 a b c a+b a⋅b
a’⋅ (b + c) a ⋅ b’ + a ⋅ b ⋅ c’ + b’, dan sebagainya
Mengevaluasi Ekspresi Boolean • Contoh: a’⋅ (b + c) jika a = 0, b = 1, dan c =
0, maka hasil evaluasi ekspresi: 0’⋅
(1 + 0) = 1 ⋅ 1 = 1 • Dua ekspresi Boolean
dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang
sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah. Contoh: a ⋅ (b + c) = (a . b) + (a ⋅ c) Contoh. Perlihatkan bahwa a +
a’b = a + b . Penyelesaian: a b a’ a’b a + a’b a+b 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 • Perjanjian: tanda titik (⋅) dapat dihilangkan dari penulisan
ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan: (i) a(b + c) = ab + ac (ii) a +
bc = (a + b) (a + c) (iii) a ⋅
0 , bukan a0
Ø Aljabar Boolean halaman 9 Prinsip
Dualitas • Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang
melibatkan operator +, ⋅,
dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti ⋅ dengan + + dengan ⋅ 0 dengan 1 1 dengan 0 dan
membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S*
disebut sebagai dual dari S. Contoh. (i) (a ⋅ 1)(0 + a’) = 0 dualnya (a + 0) + (1
⋅ a’) = 1 (ii) a(a‘ + b) = ab dualnya
a + a‘b = a + b Hukum-hukum Aljabar Boolean 1. Hukum identitas: 2. Hukum
idempoten: (i) a+0=a (i) a + a = a (ii) a ⋅ 1 = a (ii) a ⋅ a = a 3. Hukum komplemen: 4. Hukum
dominansi: (i) a + a’ = 1 (i) a⋅0
=0 (ii) aa’ = 0 (ii) a + 1 = 1 5. Hukum involusi: 6. Hukum penyerapan: (i)
(a’)’ = a (i) a + ab = a (ii) a(a + b) = a 7. Hukum komutatif: 8. Hukum
asosiatif: (i) a+b=b+a (i) a + (b + c) = (a + b) + c (ii) ab = ba (ii) a (b c)
= (a b) c 9. Hukum distributif: 10. Hukum De Morgan: (i) a + (b c) = (a + b) (a
+ c) (i) (a + b)’ = a’b’ (ii) a (b + c) = a b + a c (ii) (ab)’ = a’ + b’ 11.
Hukum 0/1 (i) 0’ = 1 (ii) 1’ = 0 Contoh 7.3. Buktikan (i) a + a’b = a + b dan
(ii) a(a’ + b) = ab Penyelesaian: (i) a + a’b = (a + ab) + a’b (Penyerapan) = a
+ (ab + a’b) (Asosiatif) = a + (a + a’)b (Distributif) =a+1•b (Komplemen) =a+b
(Identitas) (ii) adalah dual dari (i) Fungsi Boolean
Ø Aljabar Boolean halaman 10 • Fungsi
Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui
ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai f : Bn → B yang dalam hal ini Bn
adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple)
di dalam daerah asal B. • Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi
Boolean. • Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z
Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (x, y, z) ke himpunan
{0, 1}. Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga f(1,
0, 1) = 1 ⋅ 0 ⋅ 1 + 1’ ⋅ 0 + 0’⋅ 1 = 0 + 0 + 1 = 1 . Contoh.
Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain: 1. f(x) = x 2. f(x, y) = x’y + xy’+ y’
3. f(x, y) = x’ y’ 4. f(x, y) = (x + y)’ 5. f(x, y, z) = xyz’ • Setiap peubah
di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal.
Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buah
literal, yaitu x, y, dan z’. Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy
z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran. Penyelesaian: x y z f(x, y, z) = xy z’ 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 Komplemen Fungsi
1. Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan Hukum De Morgan untuk dua buah
peubah, x1 dan x2, adalah
Ø Aljabar Boolean halaman 11 Contoh.
Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka f ’(x, y, z) = (x(y’z’ + yz))’ = x’ +
(y’z’ + yz)’ = x’ + (y’z’)’ (yz)’ = x’ + (y + z) (y’ + z’) Aplikasi Aljabar
Boolean 2. Rangkaian Digital Elektronik x x xy x+ y x x’ y y Gerbang AND
Gerbang OR Gerbang NOT (inverter) Contoh. Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x’y
ke dalam rangkaian logika. Jawab: (a) Cara pertama x xy y xy+x’y x’ x x’y y (b)
Cara kedua x xy y x y+x ‘y x’ x ‘y
Ø Aljabar Boolean halaman 12 (b) Cara
ketiga x y xy xy+x’y x’ x’y Gerbang turunan x x ( xy )’ x + y y y Gerbang NAND
Gerbang XOR x x ( x+y )’ ( x + y )’ y y Gerbang NOR Gerbang XNOR x x x+ y ( x +
y )’ ekivalen dengan ( x + y )’ y y x’ x x ‘y ‘ ekivalen dengan ( x+y )’ y’ y
Penyederhanaan Fungsi Boolean Contoh. f(x, y) = x’y + xy’ + y’ x’ x x ‘+ y ‘
ekivalen dengan ( xy )’ y’ y
Ø Aljabar Boolean halaman 13
disederhanakan menjadi f(x, y) = x’ + y’ Penyederhanaan fungsi Boolean dapat
dilakukan dengan 3 cara: 1. Secara aljabar 2. Menggunakan Peta Karnaugh 3.
Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi) 1. Penyederhanaan Secara Aljabar
Contoh: 1. f(x, y) = x + x’y = (x + x’)(x + y) = 1 ⋅ (x + y ) =x+y 2. f(x, y, z) = x’y’z
+ x’yz + xy’ = x’z(y’ + y) + xy’ = x’z + xz’ 3. f(x, y, z) = xy + x’z + yz = xy
+ x’z + yz(x + x’) = xy + x’z + xyz + x’yz = xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z
Pembuat blog AljabarBoolean adalah : My Name is Joy Wijaya
pada saat saya memposting tentang AljabarBoolean di blog saya itu merupakan
cara untuk melakukan eunterpraner dengan cara membuat blog AljabarBoolean dan
tolong sesudah membaca blog ini
berkatalah saya suka AljabarBoolean saya cinta saya AljabarBoolean saya mau
AljabarBoolean saya ingin AljabarBoolean saya mengginkan AljabarBoolean saya
butuh AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya cinta AljabarBoolean saya
butuh AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya cinta AljabarBoolean tugas
saya AljabarBoolean saya disuruh mencari AljabarBoolean AljabarBoolean mudah
saya cinta AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya ingin AljabarBoolean
saya memutuhkan AljabarBoolean saya need AljabarBoolean saya love
AljabarBoolean saya ai AljabarBoolean saya pengen AljabarBoolean saya tresno
AljabarBoolean saya main AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya
AljabarBoolean hhehehhe :D di
sekolah saya setiap ada pelajaran digital pasti disuruh membuat pra KBM salah
1nya tentang AljabarBoolean ini jadi saya membuat blog ini selain untuk
memudahkan orang mendapat informasi yaitu untuk berbisnis dengan blog
AljabarBoolean oleh dari pada itu tolong partisipasinya dalam bisnis saya
(AljabarBoolean) dan mohon maaf jika blognya tidak benar atau salah terima
kasih dan juga tolong anda berkata AljabarBoolean AljabarBoolean saya butuh
AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya cinta AljabarBoolean tugas saya
AljabarBoolean saya disuruh mencari AljabarBoolean AljabarBoolean mudah saya
cinta AljabarBoolean saya mau AljabarBoolean saya ingin AljabarBoolean saya
memutuhkan AljabarBoolean saya need AljabarBoolean saya love AljabarBoolean
saya ai AljabarBoolean saya pengen AljabarBoolean saya tresno AljabarBoolean setelah
selesai membaca blog ini hhehhehe :D